数学例题的诱思探究教学

在讲完和、差、倍角的三角函数后,我讲了几道例题,目的是为了探索应用这些公式,以培养和提高学生的分析能力和应用水平.下面举一例谈谈数学例题的探究式教学,认识粗浅,恭迎斧正.

题   已知：cos(α+β)=0求证：

         sin(α+2β)=sinα.

1.分析题设和结论中信息的差异,寻求解题途径

解题的关键是切入和深入的突破口,诱导学生分析对比题设和结论中函数的类型、变量的多少及倍分关系,转化为同类问题去处理.这道题中,对比题设和结论,不难发现题设中有α+β,结论中没有,可对结论中的角进行分拆变换.

师：观察这道题的题设和结论有什么不同?

生：角不同,函数名不同,题设中为α+β,结论中为α+2β、α,题设中为余弦,结论中为正弦.

师：如果我们能把角或函数转化为同一类问题,那么我们思考的范围就会缩小,问题就会集中,解决就会容易.在这道题中我们转化什么好呢?

生：（齐）角!

师：咋样转化?岳露你黑板上作.

证法一（岳露）： cos(α+β)=0,

∴左边= sin[(α+β)+β]= sin(α+β) cosβ+ cos(α+β) sinβ= sin(α+β) cosβ;

右边= sin[(α+β)－β]= sin(α+β) cosβ－ cos(α+β) sinβ=

sin(α+β) cosβ.

左边=右边,原等式成立.

师：好,方法很好,过程也很简捷.

2.挖掘题设隐含信息,寻求解题途径

诱导学生对题设和结论进行化简、变形等处理,找出它的等价命题,试图用等价命题来解,以挖掘潜能,拓展知识面,开辟新的解题途径.

师：由cos(α+β)=0能得到些什么?

蔡卓：cosαcosβ= sinαsinβ①

师：好,还有什么呢?

王奇：α+β=或.

师：行不行？

生：（齐）行!

师：现在研究角的范围是什么?

生：（立悟,齐）α+β=kπ+ ②

师：好,还有什么呢?

生：sin(α+β)=1

师：行吗?

王奇：应为sin(α+β)=±1   ③

师：好,很好!我们能不能由这些等价结论来解呢?

生：行!

证法二（王朝阳）： cos(α+β)=0,∴cosαcosβ= sinαsinβ ①

左边=sinαcos2β+cosαsin2β=sinα(1－2sin²β)+2cosαcosβsinβ= sinα－2 sinαsin²β+2 sinαsin²β= sinα=右边,原等式成立.

证法三（钱娜）： cos(α+β)=0,

∴cosαcosβ= sinαsin  ①

左边= sinαcos2β+cosαsin2β=sinα(2cos²β－1)+2cosαcosβsinβ

=2 sinαcos²β－sinα+2sinαsin²β

= =右边, ∴原等式成立.

证法四（王小娟）： cos(α+β)=0,∴sin(α+β)=±1③.左边= sin[(α+β)+β]= sin(α+β) cosβ+ cos(α+β) sinβ= cosβ;

右边 = sin[(α+β)－β]= sin(α+β) cosβ－ cos(α+β) sinβ= cosβ.

左边=右边, ∴原等式成立.

3．优化思维品质,培养求简意识,寻求最佳解题途径

高斯说“去寻求一种最美和最简捷的证明,乃是吸引我们去研究它的主要动力”.简单是真的印记,简化解题方法是我们的追求目标.诱导学生优化解题方法,是进一步培养学生创造性思维能力的关键.

师：这道题结论要成立,关键是要寻找什么的转化?还有更简单的方法?

王奇：角!（稍等）有,用②.

证法五（王奇）： cos(α+β)=0,

∴β= kπ+－α(k∈Z).

左边=sin(α+2 kπ+π－2α)

    = sin(π－α)= sinα=右边.

∴原等式成立.

师:妙,真棒!

这道例题比较简单,按常规处理,. 老师平铺直叙,证法一,证法二,…,看起来课很紧凑,结构很严谨,但学生动的少,被动接受,这些经老师挖掘出来的东西,会成为学生学习的一种新的负担,效果不好.采用诱思探究式教学,发挥学生的聪明才智,诱导学生分析挖掘题设和结论显示的信息及隐含的信息,利用这些信息得到了五种证法.这样以诱达思,诱思交融,发挥了学生的主观能动性.使学生在探索中学习,并养成探索性学习的好习惯,效果会倍增.

结论：例题的功用不单是知识点的示范应用,有大量潜在的数学功能需要开发,挖掘这些潜在功能的过程,正是学生获得知识和技能的关键.通过提出问题和解决问题,扩大解题的“武器库”,进行这方面的诱导和培养,可以激发学生的学习兴趣, 培养和提高学生的探索能力和创新精神。