一道波兰竞赛题的新证及推广

题: ≤①

(波兰数学竞赛题)

证明  用≤(a＞0, b＞0仅当a=b时取等号)来证.

当a＞0,b＞0时,

=

≤==.

=右边(当且仅当a=b时取等号).

当a、b中至少有一个为负数或零时,左边≤

≤=右边(仅当a=b时取等号).

综上可知,原不等式成立.

这个不等式结构整齐有序,而且有下面两个特点:（1）左边指数都是右边指数的因数;（2）左边指数的和等于右边指数.

按照这个特点可将此题推广如下:

定理   n、p、M∈N,x_j∈R(j=1,2,…,p),m_i(m_i∈N)∣M(i=1,2,…,n) ,且

ni=1,则

     ni=1≤∑,\s\up7(pj=1   ②

证明  由幂平均值不等式

∑,\s\up7(ni=1( a_i∈R⁺,当且仅当a_i相等时取等号)来证.

当x_j∈R⁺(j=1,2,…,p)时,

ni=1=ni=1≤ni=1=1,p∑,\s\up7(p=∑,\s\up7(pj=1

当x_j∈(j=1,2,…,p)中至少一个为负数或零时,有

ni=1≤ni=1≤∑,\s\up7(pj=1.

综上知,原不等式成立.