圆锥曲线切线的几何画法

本文通过六个定理来介绍用尺规画圆锥曲线的切线.

1.过圆锥曲线上一点的切线的画法

定理1  如图1, P是椭圆上除顶点外的一点,F₁、F₂为椭圆的焦点,连结PF₁(或PF₂)并延长到M(或N),使∣PM∣=∣PF₂∣(或∣PN∣=∣PF₁∣,连结MF₂ (或NF₁),则MF₂ (或NF₁)的垂直平分线是椭圆在P点处的切线.

证明  由∣PM∣=∣PF₂∣知MF₂的垂直平分线经过P点.设P点的坐标为(x₀,y₀),M点的坐标为(x′,y′), MF₂的垂直平分线方程为y=k(x－x₀)+y₀,由M、F₂关于直线y=k(x－x₀)+y₀对称,有

解得        ③

∵∣MF₁∣=2a,∴(x′+c)²+y′²=4a²,把(1)代入,得(2c－ky′)²+y′²=4a²,化简,得(k²+1)y′²－4kcy′=4b².把(3)代入并化简,得(x－a²)k²－2kx₀y₀+y=b².上面关于k的一元二次方程中,

⊿=4xy+4(x－a²)(b²－y)=－4(a²b²－a² y－b² x)=0,由求根公式,得

这是椭圆上点P处切线的斜率.∴MF₂的垂直平分线是过P点的切线.

定理2  如图2,P是双曲线左支上除顶点外的一点,F₁、F₂为双曲线的焦点.连结PF₁、PF₂,在PF₂上取一点M使∣MP∣=∣PF₁∣,连结MF_1,则MF₁的垂直平分线为双曲线在P点处的切线. P在双曲线右支上时,用同法可以作过P点的切线.

证明  类似定理1的证明,略.

y

M

y

P

 

M

P

    

o

F1

x

F2

o

F2

x

F1

 

(图1)            (图2)

定理3   如图3, P为抛物线y²=2Px上除顶点外的一点,过P作PM平行于x轴交抛物线的准线于M,连结MF,则MF的垂直平分线为抛物线在P点处的切线.

证明   由抛物线定义知∣MP∣

=∣PF∣,故MF的垂直平分线经过P点.设P点的坐标为（,y₀）,则M点的坐标为（－,y₀）, MF中点的坐标为（0, ）.

∴MF的垂直平分线的斜率为

k=（－）/（y₀－）=.

这是抛物线经过P点的切线yy₀=P（x－x₀）斜率.∴PM的垂直平分线是过P点的切线.

y

圆锥曲线顶点处的切线是过顶点与过顶点的轴垂直的直线,这里不再论述.

y

                                 

P

M

o

F

x

P

M′

M

F2

F1

o

x

N′

N

×

×

(图3)           (图4)

2.过圆锥曲线外一点的切线的画法

定理4  如图4, P为椭圆外一点, F₁、F₂为椭圆的焦点.以P为圆心,∣PF₁∣为半径在椭圆两侧画弧,再以F₂为圆心, 长为半径画弧分别交前两弧于M′、N′两点.连结F₂M′、F₂N′分别交椭圆于M、N两点,连结PM、PN,则直线PM、PN是过P点的切线,M、N为切点.

证明  由定理的作法易知PM是F₁M′的垂直平分线,再由定理1知PM是椭圆上M点的切线.同理, PN也是椭圆上N点的切线

定理5   如图5,P为双曲线

外一点,F₁、F₂为双曲线的焦点.以P为圆心,∣PF₁∣为半径画弧,再以F₂ 为圆心, 为半径画弧交前弧于M′、N′两点.连结F₂M′、F₂N′并延长分别交双曲线于M、N两点,连结PM、PN,则直线PM、PN为过P点的切线,M、N 为切点.

M

M′

y

N

P

N′

x

o

o

F2

P

N

N ′

M

M′

F1

x

y

F

×

×

 

(图5)            (图6)

证明    （略）

定理6   如图6, P为抛物线y²P=2x外一点,以P为圆心, ∣PF∣为半径画弧交准线于M′、N′两点.分别过M′、N′作轴x的平行线交抛物线于M、N两点,连结PM、PN,则直线PM、PN为过P点的切线,M、N为点.