抛物线弦长公式及应用

本文介绍一个公式,可以简捷准确地求出直线被抛物线截得的弦长,还可以利用它来判断直线与抛物线位置关系及解决一些与弦长有关的题目.方法简单明了,以供参考.

  定理  直线y=kx+b(k≠0)被抛物线y²=2Px截得的弦AB的长度为

∣AB∣=  ①

  证明  由y=kx+b得x=代入y²=2Px得y²－+=0

∴ y₁+y₂=,y₁y₂=.

∣y₁－y₂∣==2,

∴∣AB∣=∣y₁－y₂|=

当直线y=kx+b(k≠0)过焦点时,b=－,代入①得∣AB∣=P(1+k²),

于是得出下面推论:

推论1  过焦点的直线y=kx－（k ≠0）被抛物线y²=2Px截得的弦

AB的长度为

∣AB∣=P(1+k²)     ②

在①中,由容易得出下面推论:

推论2  己知直线l: y=kx+b(k≠0)及抛物线C:y²=2Px

Ⅰ)当P＞2bk时,l与C交于两点(相交);

Ⅱ)当P=2bk时,l与C交于一点(相切);

Ⅲ)当P＜2bk时,l与C无交点(相离).

下面介绍定理及推论的一些应用:

例1  (课本P.57例1)求直线y=x+被抛物线y=x²截得的线段的长?

分析:题中所给方程与定理中的方程形式不一致,可把x看成y用①即可.

解  曲线方程可变形为x²=2y则P=1,直线方程可变形为x=y－,

即k=1,b=－.由①得∣AB∣=4.

例2      求直线2x+y+1=0到曲线y²－2x－2y+3=0的最短距离.

分析:可求与已知直线平行并和曲

线相切的直线,二直线间距离即为要求的最短距离.

解  曲线可变形为(y－1)²=2(x－1)则P=1,由2x+y+1=0知k=－2.由推论2,令2bk=P,解得b=－.∴所求直线方

程为y－1=－2(x－1)－,即2x+y－=0. ∴.

故所求最短距离为.

例3   当直线y=kx+1与曲线y=－1有交点时,求k的范围.

解   曲线可变形为(y+1)²=x+1

(x≥－1,y≥－1) ,则P=1/2.直线相应地可变为 y+1=k(x+1)－k+2,∴b=2-k.由推论2,令2bk≤P,即2k(2－k)≤,解得k≤1－或k≥1+.故k≤1－或k≥1+时直线与曲线有交点.

   注:曲线作怎样变形,直线也必须作相应平移变形,否则会出现错误.

例4   抛物线y²=2Px内接直角三角形,一直角边所在直线为y=2x,斜边长为5.求抛物线的方程.

解  设直角三角形为AOB.由题设知k_OA=2,k_OB=－.由①, |OA|=,

|OB|=4P.由|OA|²+|OB|²=|AB|²,得P=.∴抛物线方程为y²=x.

例5              (91年全国高中数学联赛题)设O为抛物线的顶点,F为焦点,PQ为过的弦,己知∣OF∣=a,∣PQ∣=b,.求S_ΔOPQ

解   以O为原点,OF为x轴建立直角坐标系(见图),依题设条件,抛物线方程为y²=4ax(P=2a),设PQ的斜率为k,由②|PQ|=,

已知|PQ|=b,k²=.∵k²=tg²θ∴sin²θ=.即sinθ=,

P

x

)

F

o

Q

y

θ

 

∴S_ΔOPQ=S_ΔOPF+S_ΔOQF =a|PF|sinθ+a|FQ|sin(π－θ)=ab sinθ=.