§3.2.1等差数列

目的：1.要求学生掌握等差数列的概念

2.等差数列的通项公式，并能用来解决有关问题。

重点：1.要证明数列{a_n}为等差数列，只要证明a_n+1-a_n等于常数即可（这里n≥1,且n∈N^*）

2.等差数列的通项公式：a_n=a₁+(n-1)d (n≥1,且n∈N^*).

3．等到差中项：若a、A、b成等差数列，则A叫做a、b的等差中项，且

难点：等差数列“等差”的特点。公差是每一项（从第2项起）与它的前一项的关绝对不能把被减数与减数弄颠倒。

      等差数列通项公式的含义。等差数列的通项公式由它的首项和公差所完全确定。换句话说，等差数列的首项和公差已知，那么，这个等差数列就确定了。

过程：

一、引导观察数列：4，5，6，7，8，9，10，……

                      3，0，-3，-6，……

                     ， ， ， ，……

                        12，9，6，3，……

       特点：从第二项起，每一项与它的前一项的差是常数 — “等差”

二、得出等差数列的定义： （见P115）

        注意：从第二项起，后一项减去前一项的差等于同一个常数。

1．名称：AP     首项   公差

2．若   则该数列为常数列

3．寻求等差数列的通项公式：

    由此归纳为     当 时  （成立）

       注意:  1° 等差数列的通项公式是关于 的一次函数

              2° 如果通项公式是关于 的一次函数，则该数列成AP

          证明：若

                它是以 为首项， 为公差的AP。

              3° 公式中若  则数列递增， 则数列递减

  4° 图象： 一条直线上的一群孤立点

三、例题： 注意在 中 ， ， ， 四数中已知三个可以

       求出另一个。

例1 （P115例一）

例2 （P116例二）  注意：该题用方程组求参数

例3 （P116例三）  此题可以看成应用题

四、  关于等差中项： 如果 成AP 则

      证明：设公差为 ，则  

            ∴

   例4  《教学与测试》P77 例一：在-1与7之间顺次插入三个数 使这五个数成AP，求此数列。

       解一：∵   ∴ 是-1与7 的等差中项

∴    又是-1与3的等差中项

 ∴

             又是1与7的等差中项  ∴

       解二：设  ∴

∴所求的数列为-1，1，3，5，7

五、判断一个数列是否成等差数列的常用方法

      1．定义法：即证明

        例5、已知数列 的前 项和 ，求证数列 成等差数列，并求其首项、公差、通项公式。 

          解：                      

当 时  

             时 亦满足  ∴

              首项     

               ∴ 成AP且公差为6

     2．中项法： 即利用中项公式，若 则 成AP。

           例6   已知 ， ， 成AP，求证 ， ， 也成AP。

             证明： ∵ ， ， 成AP  

   ∴ 化简得：                                       

                      =

                 ∴ ， ， 也成AP

         3．通项公式法：利用等差数列得通项公式是关于 的一次函数这一性质。

         例7  设数列 其前 项和 ，问这个数列成AP吗？

            解： 时        时

                   ∵    ∴    

                   ∴ 数列 不成AP   但从第2项起成AP。

五、小结：等差数列的定义、通项公式、等差中项、等差数列的证明方法

六、作业 ： P118 习题3．2    1-9

   七、练习：

       1．已知等差数列{a_n}，（1）a_n=2n+3,求a₁和d   （2）a₅=20,a₂₀=-35,写出数列的通项公式及a_100.

       2.在数列{a_n}中，a_n=3n-1，试用定义证明{a_n}是等差数列，并求出其公差。

         注：不能只计算a₂-a₁、_、a₃-a₂、a₄-a₃、等几项等于常数就下结论为等差数列。

       3．在1和101中间插入三个数，使它们和这两个数组成等差数列，求插入的三个数。

       4．在两个等差数列2，5，8，…与2，7，12，…中，求1到200内相同项的个数。

          分析：本题可采用两种方法来解。

            （1）用不定方程的求解方法来解。关键要从两个不同的等差数列出发，根据

相同项，建立等式，结合整除性，寻找出相同项的通项。

            （2）用等差数列的性质来求解。关键要抓住：两个等差数列的相同项按原来的前后次序仍组成一个等差数列，且公差为原来两个公差的最小公倍数。

      5．在数列{a_n}中, a₁=1,a_n= ,(n≥2),其中S_n=a₁+a₂+…+a_n.证明数列是等

差数列，并求S_n。

        分析：只要证明 (n≥2)为一个常数，只需将递推公式中的a_n转化

为S_n-S_n-1后再变形，便可达到目的。

     6．已知数列{a_n}中，a_n-a_n-1=2(n≥2), 且a₁=1，则这个数列的第10项为（  ）

        A  18       B 19       C 20       D21

     7．已知等差数列{a_n}的前三项为a-1,a+1,2a+3,则此数列的公式为（    ）

        A  2n-5     B  2n+1     C  2n-3    D  2n-1

     8.已知m、p为常数，设命题甲：a、b、c成等差数列；命题乙：ma+p、 mb+p 、mc+p

成等差数列，那么甲是乙的（   ）

A 充分而不必要条件    B 必要而不充分条件

C 充要条件            D既不必要也不充分条件

9．（1）若等差数列{a_n}满足a₅=b,a₁₀=c(b≠c),则a₁₅=       

  （2）首项为-12的等差数列从第8项开始为正数，则公差d的取值范围是      

  （3）在正整数100至500之间能被11整除的整数的个数是      

10．已知a₅=11,a₈=5,求等差数列{a_n}的通项公式。

11．设数列{a_n}的前n项S_n=n²+2n+4(n∈N^*)

(1)   写出这个数列的前三项a_1,a₂,a₃;

(2)   证明：除去首项后所成的数列a₂,a₃,a₄…是等差数列。

     12．已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，问它们有多少个共同的项？

     13．若关于x的方程x²-x+a=0和x²-x+b=0（a≠b）的4个根可以组成首项为 的等到差数列，求a+b 的值。