教学建议

知识结构

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重难点分析

本节的重点是 的化简.本章自始至终围绕着二次根式的化简与计算进行，而 的化简不但涉及到前面学习过的算术平方根、二次根式等概念与二次根式的运算性质，还要牵涉到绝对值以及各种非负数、因式分解等知识，在应用中常常需要对字母进行分类讨论.

本节的难点是正确理解与应用公式

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这个公式的表达形式对学生来说，比较生疏，而实际运用时，则要牵涉到对字母取值范围的讨论，学生往往容易出现错误.

教法建议

1.性质的引入方法很多，以下2种比较常用：

（１）设计问题引导启发：由设计的问题

1） 、 、 各等于什么？

2） 、 、 各等于什么？

启发、引导学生猜想出

（2）从算术平方根的意义引入．

2．性质的巩固有两个方面需要注意：

（1）注意与性质 进行对比，可出几道类型不同的题进行比较；

（2）学生初次接触这种形式的表示方式，在教学时要注意细分层次加以巩固，如单个数字，单个字母，单项式，可进行因式分解的多项式，等等．

（第1课时）

一、教学目标 

1.掌握二次根式的性质

2.能够利用二次根式的性质化简二次根式

3.通过本节的学习渗透分类讨论的数学思想和方法

二、教学设计

对比、归纳、总结

三、重点和难点

1.重点：理解并掌握二次根式的性质

2.难点：理解式子 中的 可以取任意实数，并能根据字母的取值范围正确地化简有关的二次根式．

四、课时安排

1课时

五、教具学具准备

投影仪、胶片、多媒体

六、师生互动活动设计

复习对比，归纳整理，应用提高，以学生活动为主

七、教学过程 

一、导入  新课

我们知道，式子 （ ）表示非负数 的算术平方根．

问：式子 的意义是什么？被开方数中的 表示的是什么数？

答：式子 表示非负数 的算术平方根，即 ，且 ，从而 可以取任意实数．

二、新课

计算下列各题，并回答以下问题：

（1） ； （2） ； （3） ；

（4） ； （5） ； （6）

（7） ； （8）

1．各小题中被开方数的幂的底数都是什么数？

2．各小题的结果和相应的被开方数的幂的底数有什么关系？

3．用字母 表示被开方数的幂的底数，将有怎样的结论？并用语言叙述你的结论．

答：

（1） ； （2） ； （3） ；

（4） ； （5） ； （6）

（7） ； （8） ．

1．（1），（2），（3）各题中的被开方数的幂的底数都是正数；（4），（5），（6），（7）各题中的被开方数的幂的底数都是负数；（8）题被开方数的幂的底数是0．

2．（1），（2），（3），（8）各题的计算结果和相应的被开方数的幂的底数都分别相等；（4），（5），（6），（7）各题的计算结果和相应的被开方数的幂的底数分别互为相反数．

3．用字母 表示（1），（2），（3），（8）各题中被开方数的幂的底数，有

（ ），

用字母 表示（4），（5），（6），（7）各题中被开方数的幂的底数，有

（ ）．

一个非负数的平方的算术平方根，等于这个非负数本身；一个负数的平方的算术平方根，等于这个负数的相反数．

问：请把上述讨论结论，用一个式子表示．（注意表示条件和结论）

答：

请同学回忆实数的绝对值的代数意义，它和上述二次根式的性质有什么联系？

答：

填空：

1．当 _________时， ；

2．当 时， ，当 时， ；

3．若 ，则 ________；

4．当 时， ．

答：

1．当 时， ；

2．当 时， ，

当 时， ；

3．若 ，则 ；

4．当 时， ．

例1  化简   （ ）．

分析：可以利用积的算术平方根的性质及二次根式的性质化简．

解  ，因为 ，所以 ，所以

．

指出：在化简和运算过程中，把 先写成 ，再根据已知条件中 的取值范围，确定其结果．

例2  化简   （ ）．

分析：根据二次根式的性质，当 时， ．

解   ．

例3  化简：（1） （ ）； （2） （ ）．

分析：根据二次根式的性质，当 时， ．

解  （1） ．

（2） ．

注意：（1）题中的被开方数 ，因为 ，所以 ．

（2）题中的被开方数 ，因为 ，所以 ．

这里 的取值范围，在已知条件中没有直接给出，但可以由已知条件分析而得出．

例4  化简 ．

分析：根据二次根式的性质，有

．

所以要比较 与3及1与 的大小以确定 及 的符号，然后再进行化简．

解  因为 ， ，所以

， ．

所以

．

三、课堂练习

1．求下列各式的值：

（1） ； （2） ．

2．化简：

（1） ； （2） ；

（3） （ ）； （4） （ ）．

3．化简：

（1） ； （2） ；

（3） ； （4） ；

（5） ； （6） （ ）．

答案：

1．（1）0.1； （2） ．

2．（1） ； （2） ； （3） ； （4） ．

3．（1）4； （2）1.5； （3）0.09； （4）－1； （5）4； （6）－1．

四、小结

1．二次根式 的意义是 ，所以 ，因此 ，其中 可以取任意实数．

2．化简形如 的二次根式，首先可把 写成 的形式，再根据已知条件中字母 的取值范围，确定其结果．

3．在化简中，注意运用题设中的隐含条件，如二次根式 有意义的条件是被开方 ，这是隐含条件．

五、作业 

1．化简：

（1） ； （2） ；

（3） （ ）； （4） （ ）；

（5） ； （6） （ ， ）；

（7）   （ ）．

2．化简：

（1） ；

（2） （ ）；

（3） （ ， ）．

答案：

1．（1）－30； （2） ； （3） ；

（4） ； （5） ； （6） ； （7） ．

2．（1）2； （2）0； （3） ．
二次根式的化简